Дали Безкрайността идва в различни размери?


В филма от 1995 г. „ Играта на играчките” , фигурата на космическата акция „Бъз Лайтиър” неумолимо предизвиква неговата фраза: „Към безкрайността ... и отвъд!” Шегата, разбира се, се корени в напълно разумното предположение, че безкрайността е ненадминат абсолютен - че няма отвъд. Това предположение обаче не е изцяло разумно. Както демонстрира германският математик Георг Кантор в края на 19-ти век, съществуват различни безкрайности - и те могат да бъдат класифицирани по техните относителни размери. Естес

В филма от 1995 г. „ Играта на играчките”, фигурата на космическата акция „Бъз Лайтиър” неумолимо предизвиква неговата фраза: „Към безкрайността ... и отвъд!” Шегата, разбира се, се корени в напълно разумното предположение, че безкрайността е ненадминат абсолютен - че няма отвъд. Това предположение обаче не е изцяло разумно. Както демонстрира германският математик Георг Кантор в края на 19-ти век, съществуват различни безкрайности - и те могат да бъдат класифицирани по техните относителни размери.

Естествена логика

Да вземем, например, така наречените естествени числа: 1, 2, 3 и т.н. Тези цифри са неограничени и по този начин събирането или множеството от всички естествени числа са безкрайни по размер. Но колко е безкрайно? Кантор използва елегантен аргумент, за да покаже, че естествените, макар и безкрайно многобройни, всъщност са по-малко от друго общо семейство от числа: реалните числа. Този набор включва всички числа, които могат да бъдат представени като десетична, дори ако това десетично представяне е безкрайно по дължина. Следователно pi (3.14159 ...) е реално число, както е 27 (което е едновременно естествено и реално).

Аргументът на Кантор използва логиката на противоречието: той първо приема, че тези групи са еднакви; След това той последва поредица от логически стъпки, за да намери недостатък, който би подкопал това предположение. Той разсъждава, че ако естествените и реалностите имат еднакво много членове, тогава двете групи могат да бъдат поставени в кореспонденция един към един. Това означава, че те могат да бъдат сдвоени, така че всеки елемент във всеки набор да има един - и само един - "партньор" в другия комплект.

Помислете за това по този начин: дори и при липса на числено преброяване, за измерване на относителни суми могат да се използват едно- към едно съответствие. Представете си две сандъци с неизвестни размери, една от ябълките и една от портокалите. Изваждането на една ябълка и един портокал в даден момент помага на двете групи в двойки ябълково-оранжеви. Ако съдържанието на двете каси се изпразва едновременно, двете кутии съдържат равен брой плодове; ако една щайга се изчерпи преди другата, тази с останалата храна е по-изобилна.

Crafty Math

Така Кантор започна, като предположи, че естествените и реалностите са в такава кореспонденция. Съответно, всяко естествено число n има реален партньор r n . Тогава релите могат да бъдат изброени по реда на съответните им естествени стойности: r 1, r 2, r 3 и т.н.

Тогава излезе хитрата страна на Кантор. Той е създал реално число, наречено p, по следното правило: направи цифрата n след десетичната точка в p нещо различно от цифрата в същото десетично число в r n . Един прост метод ще бъде: изберете 3, когато въпросната цифра е 4; в противен случай изберете 4.

За пример на демонстрация, да речем, че реалният номер на партньор за естественото число 1 е 27 (или 27.00000 ...), двойката за 2 е pi (3.14159 ...), а тази на 3 е делът на президента Джордж Буш от народни избори през 2000 г. (0, 47868 ...). Сега създайте p след конструирането на Cantor: цифрата в първия десетичен знак на p не трябва да е равна на тази в първия знак след десетичната запетая на r 1 (27), която е 0. Затова изберете 4 и p започва 0.4 ... (Числото преди десетичната запетая може да бъде всичко; 0 се използва тук за простота.) След това изберете цифрата във втория знак след десетичната запетая, така че да не е равна на втория знак след десетичната запетая на r 2 (pi), която 4. Изберете 3, а сега p = 0.43 .... Накрая изберете цифрата в третия знак след десетичната запетая, така че да не е равна на цифрата в съответния десетичен знак на r 3 (процентът на президента Буш), е 8. Напишете 4 отново, като направите p = 0.434 .... Така имате:

Този математически метод (наречен диагонализация), продължаван безкрайно надолу по списъка, генерира реално число ( p ), което според правилата на неговото конструиране се различава от всяко реално число в списъка най-малко с един знак след десетичната запетая. Е, не може да бъде в списъка.

С други думи, за всяко сдвояване на натурали и реалности съществува реално число p без партньор за естествено число - ябълка без портокал. Следователно всяка кореспонденция между реалностите и натуралите се проваля, което означава, че безкрайността на реалните числа е някак си по-голяма от безкрайността на естествените числа.

Тази статия първоначално е публикувана със заглавието "Дали безкрайността идва в различни размери?" през 298, 1, 112 (януари 2008 г.)

ЗА АВТОРА

Джон Матсън е редактор за копиране на .

Последни новини